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송전선의 저항과 인덕턴스

학습 정보

과목 전력공학 · 유형 이해 · 난이도 기초 · 숙련도 미학습

송전선로를 회로로 다루려면 선 한 가닥을 R, L, C, G 네 개의 정수로 바꿔 놓아야 한다. 이것을 선로정수라 한다. 이 노트는 그중 직렬로 들어가는 두 개, 저항과 인덕턴스를 다룬다.

선로정수는 전압이나 전류가 아니라 전선의 굵기·재질·배치가 정한다는 점이 중요하다. 부하가 바뀌어도 선로정수는 그대로다.

저항

\[ R = \rho\frac{l}{A}\;[\Omega] \]

굵을수록 작고 길수록 크다. 다만 실제 송전선에서는 두 가지가 더 붙는다.

  • 표피효과: 교류에서는 전류가 도체 바깥쪽으로 몰려 실효 단면적이 줄고 저항이 커진다. 주파수가 높을수록, 도체가 굵을수록 심하다.
  • 온도 상승: 도체 온도가 오르면 저항이 커진다.

인덕턴스

전류가 만드는 자속이 자기 자신과 쇄교하는 정도다. 3상 송전선의 작용 인덕턴스는 다음 식으로 구한다.

\[ L = 0.05 + 0.4605\log_{10}\frac{D}{r}\;[\mathrm{mH/km}] \]
  • \(D\) : 선간 등가 거리(세 상이 정삼각형이 아니면 기하평균 \(\sqrt[3]{D_1D_2D_3}\))
  • \(r\) : 전선의 반지름
  • 앞의 \(0.05\) 는 도체 내부 자속에 의한 몫, 뒤의 \(\log\) 항은 외부 자속에 의한 몫이다.

무엇이 인덕턴스를 줄이는가

\(\log(D/r)\) 안에 들어 있으므로 변화가 완만하다. 그래도 방향은 분명하다.

  • 선간 거리 \(D\) 를 좁히면 줄어든다 — 다만 절연 때문에 마음대로 좁힐 수 없다
  • 전선 반지름 \(r\) 을 키우면 줄어든다 — 복도체를 쓰는 이유 중 하나

복도체는 여러 가닥을 묶어 등가 반지름을 키우는 효과를 내므로 인덕턴스가 감소한다. 정전용량은 반대로 증가한다.

계산 예제

예제 1 — 작용 인덕턴스

선간 거리 100 cm, 전선 반지름 1 cm 인 3상 송전선의 작용 인덕턴스는?

\[ \frac{D}{r} = \frac{100}{1} = 100 \quad\Rightarrow\quad \log_{10}100 = 2 \]
\[ L = 0.05 + 0.4605 \times 2 = 0.971\;\mathrm{mH/km} \]

\(D/r\) 을 먼저 구하고 상용로그를 취하는 순서다. 단위가 cm 로 통일되어 있는지 꼭 확인해야 한다.

예제 2 — 선간 거리를 4배로 하면

같은 전선에서 선간 거리만 400 cm 로 넓히면?

\[ \log_{10}400 = 2.602 \quad\Rightarrow\quad L = 0.05 + 0.4605 \times 2.602 = 1.248\;\mathrm{mH/km} \]

거리를 4배로 했는데 인덕턴스는 약 1.29배밖에 늘지 않았다. 로그 안에 들어 있어서 변화가 완만하다는 것이 이런 뜻이다.

예제 3 — 비율만 같으면 값도 같다

선간 거리 200 cm, 전선 반지름 0.5 cm 인 경우는?

\[ \frac{D}{r} = \frac{200}{0.5} = 400 \]

예제 2와 \(D/r\) 이 같으므로 인덕턴스도 1.248 mH/km 로 같다. 절대 크기가 아니라 비율이 정한다는 점이 이 식의 성질이다.

학습노트

(여기에 본인 언어로 이해한 내용을 정리)