가우스 법칙¶

학습 정보

과목 전기자기학 · 유형 이해 · 난이도 중급 · 숙련도 미학습

점전하 하나면 쿨롱의 법칙으로 충분하다. 그런데 전하가 선으로 길게 깔려 있거나 판에 넓게 퍼져 있으면 일일이 더할 수가 없다. 가우스 법칙은 이런 경우를 적분 없이 푸는 도구다. 시험에서 무한 직선·무한 평면·구 도체 문제가 나오면 거의 이 법칙을 쓰라는 뜻이다.

법칙¶

닫힌 곡면(폐곡면)을 뚫고 나가는 전기력선의 총수는, 그 안에 들어 있는 전하만으로 정해진다.

\[ \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{내부}}}{\varepsilon_0} \]

핵심은 두 가지다.

폐곡면 바깥에 아무리 큰 전하가 있어도 총수에는 영향이 없다. 들어온 만큼 나가기 때문이다.
폐곡면의 모양은 자유다. 그래서 전계가 일정한 면을 골라 잡으면 적분이 단순한 곱셈이 된다.

대칭을 이용해 푸는 법¶

전계의 크기가 면 위에서 일정하고 방향이 면에 수직이면, 좌변은 그냥 \(E \times S\) 가 된다. 대표적인 세 가지 결과는 외워두는 편이 빠르다.

구 도체 바깥 (중심에서 거리 \(r\)): 전하가 중심에 모여 있는 것과 같다.

\[ E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{r^2} \]

무한 직선 도선 (선전하밀도 \(\lambda\)): 거리의 1승에 반비례한다.

\[ E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = 1.8\times10^{10}\cdot\frac{\lambda}{r} \]

무한 평면 (면전하밀도 \(\sigma\)): 거리와 무관하다.

\[ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \]

거리 의존성이 \(1/r^2\), \(1/r\), 일정으로 하나씩 약해진다. 전하가 퍼져 있는 차원이 늘어날수록 멀어져도 잘 안 약해진다고 기억하면 셋을 헷갈리지 않는다.

계산 예제¶

예제 1 — 무한 직선 도선¶

선전하밀도 \(\lambda = 2 \times 10^{-6}\) C/m 인 무한히 긴 직선 도선에서 10 cm 떨어진 점의 전계는?

\[ E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = 1.8 \times 10^{10} \times \frac{2 \times 10^{-6}}{0.1} = 3.6 \times 10^{5}\;\mathrm{V/m} \]

\(1/(2\pi\varepsilon_0)\) 는 \(1/(4\pi\varepsilon_0)\) 의 2배이므로 \(1.8 \times 10^{10}\) 이다. 이 값을 따로 외워두면 직선 문제가 빨라진다.

예제 2 — 구 도체 바깥¶

\(Q = 1 \times 10^{-6}\) C 이 대전된 구 도체의 중심에서 30 cm 떨어진 점의 전계는? (구의 반지름은 30 cm 보다 작다)

바깥에서는 전하가 중심에 모두 모여 있는 점전하처럼 보인다.

\[ E = 9 \times 10^{9} \times \frac{1 \times 10^{-6}}{0.3^2} = 1.0 \times 10^{5}\;\mathrm{V/m} \]

예제 3 — 거리를 2배로 하면 (셋의 차이)¶

같은 조건에서 거리만 2배로 늘리면 각각 어떻게 되는가? 가우스 법칙으로 유도한 세 결과의 차이가 여기서 드러난다.

구 도체 바깥: \(1/r^2\) 이므로 1/4
무한 직선: \(1/r\) 이므로 1/2
무한 평면: 거리와 무관하므로 그대로

학습노트¶

(여기에 본인 언어로 이해한 내용을 정리)

원본출처: 전기자기학 1장 - 정전계
Notion 원본: 가우스 법칙