정전계 주요 공식 정리¶

학습 정보

과목 전기자기학 · 유형 암기 · 난이도 중급 · 숙련도 미학습

정전계 단원의 공식은 개수가 많아 보이지만, 대부분 쿨롱의 법칙 하나에서 갈라져 나온 것이다. 유도 과정을 한 번 따라가 두면 외울 것은 몇 개 되지 않는다. 이 노트는 그 갈래를 정리한 것이다.

출발점: 쿨롱의 법칙¶

\[ F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_s}\cdot\frac{Q_1 Q_2}{r^2}\;[\mathrm{N}] \]

여기서 상수 두 개만 확실히 해두면 계산이 막히지 않는다.

\[ \varepsilon_0 = 8.855 \times 10^{-12}\;[\mathrm{F/m}],\qquad \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^{9} \]

\[ E = \frac{F}{Q}\;[\mathrm{V/m}],\qquad F = QE \]

점전하가 만드는 전계는 쿨롱의 법칙에서 한쪽 전하를 1로 둔 것이다.

\[ E = 9 \times 10^{9}\cdot\frac{Q}{r^2} \]

\[ V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{r} = 9 \times 10^{9}\cdot\frac{Q}{r}\;[\mathrm{V}] \]

전계는 \(1/r^2\), 전위는 \(1/r\) 이다. 지수가 하나 다르다는 점이 시험에서 가장 자주 묻는 부분이다. 균등 전계에서는 둘의 관계가 간단해진다.

\[ V = E d,\qquad E = \frac{V}{d} \]

\[ \oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \]

구 도체 바깥: \(E = 9\times10^{9}\,Q/r^2\) — 거리의 제곱에 반비례
무한 직선: \(E = \lambda/(2\pi\varepsilon_0 r) = 1.8\times10^{10}\,\lambda/r\) — 거리에 반비례
무한 평면: \(E = \sigma/(2\varepsilon_0)\) — 거리와 무관

\[ C = \frac{Q}{V}\;[\mathrm{F}] \]

축적되는 에너지는 세 가지 형태로 쓸 수 있고, \(Q = CV\) 를 대입해 서로 옮겨 다닌다.

\[ W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV = \frac{Q^2}{2C}\;[\mathrm{J}] \]

\(Q = 1 \times 10^{-6}\) C 에서 0.3 m 떨어진 점의 전계와 전위를 각각 구하면?

\[ E = 9 \times 10^{9} \times \frac{10^{-6}}{0.3^2} = 1.0 \times 10^{5}\;\mathrm{V/m} \]

\[ V = 9 \times 10^{9} \times \frac{10^{-6}}{0.3} = 3.0 \times 10^{4}\;\mathrm{V} \]

거리를 2배로 하면 전계는 1/4, 전위는 1/2이 된다. 같은 문제에서 둘을 한꺼번에 묻는 형태가 자주 나온다.

반지름 10 cm 인 고립 도체구의 정전용량은?

\[ C = 4\pi\varepsilon_0 a = \frac{a}{9 \times 10^{9}} = \frac{0.1}{9 \times 10^{9}} \approx 11.1\;\mathrm{pF} \]

\(4\pi\varepsilon_0 = 1/(9\times10^9)\) 이므로, 반지름을 \(9\times10^9\) 으로 나누면 끝난다.

\(C = 10\;\mu\mathrm{F}\) 인 콘덴서를 100 V 로 충전했을 때 저장 에너지는?

\[ W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 10^{-6} \times 100^2 = 0.05\;\mathrm{J} \]

전압의 제곱에 비례한다. 전압을 2배로 하면 에너지는 4배다.

(여기에 본인 언어로 이해한 내용을 정리)